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パズル


パ：標準正多胞体

  • いわいまさか
  • at 2014/4/04 07:13:48

■５次元以上
パズル懇話会メンバー白川さんに教わったこと、
多面体が４種類以上ある２次元、３次元、４次元が特別な場合。
多面体は、５次元以上は３種類しかない！！！！！

このことは、何回か読んだような気もするが、あらためて言われるとあらそうだったっけかといった感想。

■wikipedia
wikipedia先生に聞いてみよう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/多胞体
http://ja.wikipedia.org/wiki/正多胞体
http://ja.wikipedia.org/wiki/ポリトープ
http://ja.wikipedia.org/wiki/4次元　　　　アニメあり

「2次元以上のどの次元にも存在する3種類の正多胞体があり、標準正多胞体という。それぞれの標準正多胞体は、α体（正単体）、γ体（超立方体）、β体（正軸体）という」

http://ja.wikipedia.org/wiki/正単体
http://ja.wikipedia.org/wiki/超立方体
http://ja.wikipedia.org/wiki/正軸体

■納得する

正単体は、線分－正三角形－正四面体－正五胞体　の系列
正単体を一次元分増やすには、どの頂点からも距離１の頂点を１個追加で納得していた。

超立方体は、線分－正方形－立方体－正八胞体　の系列
超立方体を一次元分増やすには、「増えた軸方向」に距離１の平行移動で納得していた。

正軸体については今まで、把握してなかった。
ちょっと考えた。
正軸体を一次元分増やすには、
中心から「増えた軸方向」に距離１と距離-1の点を２点とって、いままでの頂点と結べばよいのだ。
正方形－正八面体－正十六胞体の系列
次元が増えるにつれ頂点が２個づづ増えて行く。

■座標で把握
座標で表すとある意味、簡単で、

超立方体の頂点座標は
(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)

正軸体の頂点座標は
(\pm1,0,0,\cdots,0), (0,\pm1,0,\cdots,0), \cdots , (0,0,\cdots,0,\pm1)

（正八面体の頂点の３Ｄ座標を手で入力しようしたとき「簡単じゃん」と思ったことと対応）

正単体は、１個次元をあげて、
(1, 0, 0, \cdots , 0), (0, 1, 0, \cdots , 0), \cdots, (0, 0, \cdots , 0, 1)
なのだとほほう、なるほど。

■おまけ

立方体があったとき
頂点を一個決めるとその隣の頂点が３個あり、
それらを結ぶと正三角形ができる。
そうやってできる正三角形は８個ある。

なので・・・

n次元超立方体があったとき
頂点を１個決めるとその隣の頂点がn個あり、
それらを結ぶとn-1次元正単体ができる。
そうやってできるn-1次元正単体は（2＾n）個ある。

うん、これはよさそう。

n次元超立方体の頂点を結んだときにできる
n-1次元正単体は全部で（2＾n）個なのか。
つまり、違う結び方があるかないかだけど、それはなさそうなんだけど・・・。



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