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パズル


ｎで割り切れる１０十進数

  • いわいまさか
  • at 2015/2/05 20:00:00

関連記事は、
ｎで割り切れる最小０１十進数
最少を求めるとなると、先の記事の方法を参照。

最少かどうかはさておき、
「どんなｎも何倍かすれば０１十進数になる」ことを
パズ懇メンバーの岩沢さんが示してくれた。

以下はメールの転載。
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃

>「どんな数も何倍かすると０１十進数」になるのかとか。

面白い問題ですね．考えてみました．

私の答えを言ってしまうと，
↓
↓
↓
↓
↓
大きくていいなら，01十進数を見つける簡単で一般的な方法が
あります．

たとえば，2439のときは，以下のようにすればよいです．
1/9/2439を計算すると，循環節が
000045556011115666712222677782333378889344449
である循環小数（循環節の前は0のみ）だとわかります．
この循環節を整数として見て2439に乗じれば，01十進数ができます．
実際，
2439*45556011115666712222677782333378889344449
は1だけが45個並ぶ数となります．
循環節の前が0の場合は，これでOKです．

循環節の前が0でない場合，たとえば，2048の場合は，
1/9/2048=0.000054253472222222....
ですが，このようなときは，2048に
9*5425347+2
を乗じれば，01十進数ができます．
実際，2048*(9*5425347+2)=100000000000になります．

一般には，数nに対して，1/9/nを計算したときの
循環節の前の数の並びをa，循環節をb，循環節の長さをrとします．
たとえばn=2048なら，a=5425347,b=2,r=1です．
このとき，
(10^r-1)*a+b
を考え，これをnに乗じれば01十進数ができます．

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どうしてこれでよいかを簡単に説明しておきます．
注目している循環小数を適当に10の整数乗したものは，
a+b/(10^r-1)
と書けます．
したがって，
n*{(10^r-1)*a+b}
=(10^r-1)*n*{a+b/(10^r-1)}
=(9がr個並ぶ整数)*(1/9)*(10の整数乗)
=(1がr個並ぶ整数)*(10の整数乗)
というわけです．

岩沢

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メール転載はここまで

どんなｎも何倍かすれば
111111111111111110000　　みたいな
「1が並んだあと0が並んだ数」になるのだった。


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