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パズル


パ：球表面に乱数で点を打つには

  • いわいまさか
  • at 2014/5/23 15:22:03

パズル懇話会で
「球の表面に乱数で点を打つには？」
というのを話題にした。
「３Ｄ的に偏りなく打ちたい」。

自分なりの答えを持っていったが、メンバーからいろんな方法を聞いたのでそれをメモ。

（１）　立方体にうってからの

「平面で円の中に乱数をうつときの方法」を話していて、
そこからの流れで白川さんが言及

球が内接する立方体に乱数で点をうつ
球の中に入っているものだけ採用
球の表面に乗るように射影（正規化）する

Retry:
x=rand();    // -1.0～1.0 の乱数
y=rand();
z=rand();
if(x*x+y*y+z*z<=1.0){
   // 採用
　// 　中心から球への射影
　//  あるいは半径１への正規化
  r=sqrt(x*x+y*y+z*z);
  rr=1.0/r;
  x=x*rr;
  y=y*rr;
  z=z*rr;
}else{
   goto Retry;  // やりなおし　捨てる
}

長所：わかりやすい。<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
短所：乱数の振りなおしがある。

（２）正規分布乱数を使っての

　　飯田さん案。

　　正規分布を使う。

  　x=正規分布乱数();　// 0を中心とした正規分布
    y=正規分布乱数();
　　z=正規分布乱数();

　　// 球の表面にのせる
　  r=sqrt(x*x+y*y+z*z);
　  rr=1.0/r;
　  x=x*rr;
　  y=y*rr;
　  z=z*rr;

　　「x,y,zがそれぞれ正規分布だった場合
　　３次元としての(x,y,z)も正規分布」なのだと<<<<<<<<<<<
　　白川さんや飯田さんがそのように言っていた。

長所：乱数振りなおしがない
短所：正規分布乱数を持ってる必要がある

（３）　いやいやそんなことしなくても

　岩沢さんが示してくれた方法
  緯度と経度で考えて

　緯度方向の高さで
　z=rand();　　　　　　　＜＜＜＜※

  経度方向の角度で
　theta=rand()*PI
  x=cos(theta);
  y=sin(theta);

　で完了だとのこと。

　※のところは
　　「球の表面積と円柱の側面の表面積が同じ」あたりと関係している。

長所：乱数２回で捨てるとこなし。
短所：zとx,yの取り扱いが違うところが数値計算的にはいくらか心配。

↓wolframalphaで描いた球

以上


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コメント

x,yはsqrt(1-z^2)の掛け算が抜けているのでは？